Калькулятор треугольника по теореме синусов

Теорема синусов широко используется для решения задач на треугольники, определения радиуса описанной окружности и анализа геометрических свойств. Калькулятор треугольника по теореме синусов поможет вам быстро рассчитать стороны, углы, площадь и радиус описанной окружности.

Калькулятор треугольника онлайн

Для расчета треугольника по теореме синусов в калькуляторе выберите вариант (по стороне и 2 углам или по 2 сторонам и углу) и заполните соответствующие поля:

Рассчитать:

Сторона a:

Угол α°:

Угол β°:

Теорема синусов для треугольника

Теорема синусов утверждает, что в любом треугольнике отношение длины стороны к синусу противолежащего угла является постоянной величиной и равно диаметру описанной окружности. Для произвольного треугольника с длинами сторон a, b и c и углами α, β и γ (противолежащими сторонам a, b и c соответственно), теорема синусов имеет следующую формулу:

a/sin(α) = b/sin(β) = c/sin(γ) = 2R, где a, b, c - стороны треугольника, α, β, γ - противолежащие им углы, а R - радиус описанной окружности.

Доказательство обычной теоремы синусов:

Воспользуемся только определением высоты h_c треугольника, опущенной на сторону с, и синуса для двух углов: h_c = asin⁡(β) = bsin(⁡α). Следовательно, a/sin(α) = b/sin(β), что и требовалось доказать. Повторив те же рассуждения для двух других сторон треугольника, получаем окончательный вариант обычной теоремы синусов.

Доказательство расширенной теоремы синусов:

Достаточно доказать, что a/sin(α) = 2R. Проведем диаметр СG для описанной окружности. По свойству углов, вписанных в окружность, угол GBC прямой (вписанный угол, опирающийся на диаметр прямой), а угол CGB равен либо α (вписанные углы, опирающиеся на одну дугу равны), если точки A и G лежат по одну сторону от прямой BC, либо π-α в противном случае. Поскольку sin⁡(π-α) = sin⁡(α), в обоих случаях получаем a/sin(α) = 2Rsin⁡(90°) = 2R. Повторив то же рассуждение для двух других сторон треугольника, получаем: a/sin(α) = b/sin(β) = c/sin(γ) = 2R.

Примеры использования:

Нахождение стороны треугольника. Дано: a = 5, α = 30°, β = 45°. Найти b: 5/sin⁡30° = b/sin⁡45°; b = (5×sin⁡45∘)/sin⁡30° ≈ 7,071.
Нахождение угла треугольника. Дано: a = 7, b = 9, α = 40°. Найти β: 7/sin⁡40° = 9/sinβ; sinβ = (9×sin⁡40°)/7 ≈ 0,8264; β ≈ 55,7° или 124,3°.
Связь с площадью. Площадь треугольника выражается через теорему синусов: S = a×b×sin⁡(γ)/2. Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между этими сторонами. Площадь треугольника через радиус описанной окружности S = 2×R²×sin(α)×sin(β)×sin(γ). Первая формула удобна, когда известны две стороны и угол между ними. Вторая формула полезна, если известны радиус описанной окружности и все углы.