Калькулятор комплексных чисел онлайн с решением

Калькулятор комплексных чисел - это мощный инструмент для работы с числами, выходящими за пределы действительной оси. Комплексные числа расширяют понятие числа, позволяя решать уравнения, не имеющие решений в области действительных чисел, такие как x² + 1 = 0. Они находят широкое применение в физике, инженерии, компьютерной графике и многих других областях науки.

Калькулятор комплексных чисел онлайн

Чтобы пользоваться калькулятором комплексных чисел, введите действительную и мнимую части для двух чисел в соответствующие поля. Выберите нужную операцию, нажав на одну из кнопок в разделе «Операции». Результат вычислений отобразится в нижней части калькулятора, а визуальное представление чисел появится на комплексной плоскости справа. Вы можете изменять значения чисел в любое время - результаты будут пересчитываться автоматически.

Комплексные числа и операции с ними

Комплексное число представляет собой выражение вида z = a + bi, где a и b - действительные числа, а i - мнимая единица, обладающая свойством i² = -1. Действительная часть числа обозначается Re(z) = a, мнимая часть - Im(z) = b. Комплексные числа можно изображать точками на плоскости, называемой комплексной плоскостью, где горизонтальная ось соответствует действительной части, а вертикальная - мнимой.

Сложение и вычитание комплексных чисел выполняются покомпонентно. Для двух комплексных чисел z₁ = a + bi и z₂ = c + di сумма вычисляется по формуле: z₁ + z₂ = (a + c) + (b + d)i. Разность: z₁ - z₂ = (a - c) + (b - d)i. Геометрически сложение соответствует векторному сложению на комплексной плоскости.

Умножение комплексных чисел выполняется с учетом свойства мнимой единицы i² = -1. Формула умножения: z₁ × z₂ = (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i. Эта операция соответствует повороту и растяжению векторов на комплексной плоскости. Деление комплексных чисел осуществляется умножением числителя и знаменателя на сопряженное знаменателя: z₁ / z₂ = [(a + bi)(c - di)] / (c² + d²).

Сопряженное комплексное число для z = a + bi определяется как z̄ = a - bi. При умножении числа на его сопряжение получается действительное число: z × z̄ = a² + b². Модуль комплексного числа |z| = √(a² + b²) представляет собой расстояние от начала координат до точки на комплексной плоскости. Аргумент arg(z) = atan2(b, a) - угол между положительным направлением действительной оси и вектором числа.

Комплексные числа могут быть представлены в тригонометрической форме: z = r(cosφ + isinφ), где r = |z| - модуль, φ = arg(z) - аргумент. Эта форма удобна для умножения и деления чисел: при умножении модули перемножаются, аргументы складываются; при делении модули делятся, аргументы вычитаются. Возведение в степень осуществляется по формуле Муавра: zⁿ = rⁿ(cos(nφ) + isin(nφ)).

Показательная форма комплексного числа основана на формуле Эйлера: e^iφ = cosφ + isinφ. Любое комплексное число можно записать как z = re^iφ. Эта форма особенно удобна для операций умножения, деления и возведения в степень. Экспонента комплексного числа вычисляется по формуле: e^a+bi = e^a(cosb + isinb).

Корень n-й степени из комплексного числа имеет n различных значений, вычисляемых по формуле: ⁿ√z = ⁿ√r [cos((φ + 2πk)/n) + isin((φ + 2πk)/n)] для k = 0, 1, ..., n-1. Эти значения располагаются на комплексной плоскости в вершинах правильного n-угольника с центром в начале координат.

Комплексные числа играют фундаментальную роль в квантовой механике, электротехнике, теории сигналов и многих других областях. Они позволяют компактно описывать колебательные процессы, электромагнитные волны и квантовые состояния. Работа с комплексными числами развивает абстрактное мышление и открывает новые возможности для решения сложных математических задач.

Использование комплексных чисел в инженерии и физике часто упрощает расчеты, заменяя системы дифференциальных уравнений алгебраическими операциями. Преобразование Фурье, основанное на комплексных числах, является ключевым инструментом в обработке сигналов и изображений. Понимание комплексных чисел расширяет математический кругозор и позволяет глубже проникнуть в природу многих физических явлений.